Netze und Spiralen

Nicht nur mit der Mandelbrot-Gleichung lassen sich fraktale Formen und Gestalten erzeugen. Auch eine jahrhundertealte mathematische Technik ist fraktal - das Newtonsche Verfahren. Newtons Iterationsmethode ermöglicht die Ermittlung von Nullstellen bzw. von Wurzeln nichtlinearer Gleichungen f(Z) durch die Konstruktion einer konvergenten Zahlenfolge. Dabei schätzt man zunächst ein Ergebnis Z₀ in der Umgebung der Nullstelle und wendet die Methode auf diesen Schätzwert an.

Das Zwischenergebnis ist eine Zahl, die schon etwas näher an der gesuchten Nullstelle liegt. Nun wendet man die Methode auf diese Zahl an und setzt die Iteration solange fort, bis die Differenz zweier “benachbarter” Iterationen vernachlässigt werden kann.

Die Iterationsfolge wird nach der Vorschrift

Z_n+1 = Z_n - f(Z_n)/f’(Z_n)

mit n = 0, 1 ... T-1 gebildet. f’(Z_n) ist dabei die 1. Ableitung der Funktion f(Z_n)

Liegt der anfängliche Schätzwert Z₀ zufällig in der Nähe der Grenze zwischen zwei oder mehreren Lösungen der Gleichung, so erzeugt der Computer wiederum ein Fraktal. Es bildet sich ein  spiralenförmiges Netzwerk heraus, welches das Grenzgebiet zwischen den Lösungen der Nullstellensuche darstellt. Auch hier sehen wir eine verblüffende Selbstähnlichkeit.

Das Bild (1) in der Newton-Galerie rechts wird bei der Nullstellensuche für die Gleichung Z⁵ = -1 mit folgenden Parametern erhalten: