Staubige Julia-Mengen

Zu Ehren des französischen Mathematikers G. Julia werden bestimmte fraktale Abbildungen Julia-Mengen genannt. G. Julia beschäftigte sich bereits am Anfang des 20. Jahrhunderts mit der iterativen Rückkopplung von Funktionen und konnte deren grafisches Aussehen vorhersagen, obwohl ihm kein Computer zur Verfügung stand.

Für die Berechnung der Julia-Menge bzw. ihrer Grafiken wird ebenfalls die Mandelbrot-Gleichung

Z_n+1 = Z_n² + C

verwendet, nur daß im Gegensatz zur Mandelbrot-Menge für den komplexen Parameter C ein fester Wert vorgegeben wird und die komplexe Zahl Z in x- und y-Richtung variiert wird. Das Ergebnis der Berechnung wird wiederum grafisch auf dem Bildschirm sichtbar gemacht.

In Abhängigkeit vom Parameter C können Julia-Mengen in zwei große Klassen eingeteilt werden:

Zusammenhängende Julia-Mengen
Die berechneten endlichen Z-Werte ergeben bei der grafischen Darstellung ein zusammenhängendes, meist kompaktes Gebiet (z. B. schwarzer Bereich in Bild (1) der Julia-Galerie rechts).

Unzusammenhängende Julia-Mengen
Die Gebiete, die dem endlichen Attraktor zugeordnet werden können, sind voneinander durch Bereiche getrennt, in denen das Iterationsergebnis für Z gegen unendlich läuft (z. B. helle Figuren in Bild (3) der Julia-Galerie rechts). Werden für unzusammenhängende Julia-Mengen große Iterationstiefen verwendet, verkleinern sich die Julia-Figuren immer mehr - sie zerfallen zu Staub. In Bild (7) wird dies schon angedeutet.

Für welche C-Werte ergibt sich nun eine zusammenhängende oder unzusammenhängende Julia-Menge? Die Antwort gibt die Mantelbrot-Menge, da hier die C-Werte variiert und für den Ursprung der komplexen Zahlenebene Z₀ = 0 untersucht werden. Die Mandelbrot-Menge - die selbst zusammenhängend ist - steht für die C-Werte, mit denen zusammenhängende Julia-Mengen berechnet werden können.

Nachfolgend werden die verwendeten Koordinaten und Parameter für die einzelnen Bilder aus der Julia-Galerie aufgelistet: