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Mandelbrot-Menge und Apfelmännchen
Das bekannteste Fraktal ist sicherlich die Mandelbrot-Menge - benannt nach dem amerikanischen Mathematiker B. Mandelbrot. Die typischen fraktalen Formen, die innerhalb
dieser Menge in verschiedenen Größenskalen immer wieder auftreten, werden “Apfelmännchen” genannt.
Die Selbstähnlichkeit der Mandelbrot-Menge wird mit der Bilder-Folge rechts sehr anschaulich dargestellt:
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Bild (1):
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Ur-Apfelmännchen (Gesamtansicht)
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Bild (2):
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Vergrößerung des Ausschnittes aus Bild (1) mit aufgesetztem “Nebenapfel”,
Vergrößerung: ca. 4
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Bild (3):
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Vergrößerung des Ausschnittes aus Bild (2), Vergrößerung: ca. 16
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Bild (4):
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Vergrößerung des Ausschnittes aus Bild (3), Vergrößerung: ca. 64
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Bild (5):
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Vergrößerung des Ausschnittes aus Bild (4), Vergrößerung: ca. 256
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Bild (6):
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Vergrößerung des Ausschnittes aus Bild (5), Vergrößerung: ca. 1024
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Die relativ einfache Formel, mit der man solche beeindruckenden Grafiken erzeugen kann, lautet:
Zn+1 = Zn2 + C
Z und C sind komplexe Zahlen. Die Indizes n+1 und n stehen für die Anzahl der Iterationen (Rückkopplungen). Es werden zunächst
Startwerte bzw. Koordinaten für C vorgegeben, sowie eine maximale Iterationstiefe T (z. B. T = 500) und ein Schwellwert S für den Abbruch der Berechnung (z. B. S = 100) definiert. Der
Startwert für Z ist der Koordinatenursprung (Z0 = 0). Der komplexe Parameter C wird variiert in x-Richtung (Realteil) und in y-Richtung (Imaginärteil). Die Parameter für das in Bild (1) gezeigte Ur
-Apfelmännchen lauten z. B.:
xmin = -2,1 ; xmax = 0,65 ; ymin = -1,2 ; ymax = 1,2 ; T = 500 ; S = 100 ; Farbanzahl = 256.
Das Ergebnis der Formel (Zn+1) wird von Iteration zu Iteration als Ausgangswert (Zn) benutzt. Das End-Ergebnis der Iteration wird
nun für jeden Wert des vorher ausgewählten Ausschnittes der komplexen Zahlenebene grafisch als Pixelpunkt sichtbar gemacht:
- Hat der Z-Wert eines Punktes nach der maximalen Iteration den Schwellwert S
nicht überschritten - bleibt also endlich - wird dieser Punkt schwarz dargestellt. Hier springen die einzelnen Werte der Zehlenfolge unvorhersehbar hin und her -
das System ist chaotisch. Der Koordinatenbereich dieser schwarzen Punkte (C-Werte) ist die eigentliche Mandelbrot-Menge.
- Diejenigen Punkte, die nach der maximalen Iteration den Schwellwert S überschritten haben - und auf plus unendlich zulaufen - werden in verschiedenen
Farben dargestellt. Je weiter die Werte von der Mandelbrot-Menge entfernt sind, umso schneller konvergieren sie gegen unendlich. Bereiche gleicher Farbe nennt man Äquipotentialflächen.
Die filigrane Grenze zwischen beiden Gebieten ist fraktal. Die Erstellung eines Bildes in der Auflösung 640 Pixel x 480 Pixel bei
einer Iterationstiefe von T = 250 ... 500 dauerte zwischen 10 s und 2 Min (Pentium II-PC 300 MHz).
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